Monthly Archives: March 2012

גאומטריה, שוויון ומזל

דברי תודה בשם מקבלי פרס רוטשילד 2012

אדוני שר החינוך, הלורד רוטשילד, פרופסור קולברג, עמיתי כלת וחתני הפרס, גבירותי ורבותי

אפתח בתודה מקרב לב בשם מקבלי הפרס לקרן רוטשילד. פרס רוטשילד הוא אות חשוב ומרגש להערכה של החברה שלנו למדע, והבחירה בנו היא הכרה מחממת לב מצד עמיתנו, לעבודתנו על פני עשורים רבים. פרס רוטשילד הוא ביטוי, אחד בין רבים, לשותפות האמיצה של משפחת רוטשילד עם מדינת ישראל, החברה הישראלית, ומיטב ערכיה.

הרשו לי לשתף אתכם תחילה במספר תמונות שעלו אצלי כשנודע לי על הפרס ועל הטקס שעתיד להתקיים במשכן הכנסת.

תמונה ראשונה הקשורה בשם רוטשילד. שם שהפך בעם ובמדינה שלנו למושג שטבוע עמוק כמו הרצל או ביאליק. כאשר אנו מפזמים את השיר “לו הייתי רוטשילד”, שמקורו בסיפור באידיש של שלום עליכם מלפני מאה ועשר שנים, הרי שהשם רוטשילד הוא מטאפורה לאידיאל בלתי מושג. והינה רק בקיץ האחרון נוסף נדבך לשם רוטשילד, כאשר המחאה החברתית ההמונית שהדהימה אותנו צמחה בשדרות רוטשילד.

תמונה שנייה, קשורה לילדותי בירושלים כאשר גרתי עם אבי חנוך ואימי כרמלה ברחוב קטן מסילת ישרים שמו, שם שיחקתי עם אחותי תמי וחברי ילדותי איציק ואלי. בקצה הרחוב היה בית כנסת בקומה שנייה של בית יתומים, ובו, בשמחת תורה, שימחו אותנו הילדים האחים רובי ולייזי וחבר שלהם  שאף הפליא לרקוד עם מטאטא מאוזן על סנטרו. האח הבכור , חבר הכנסת רובי ריבלין, הוא יושב ראש הכנסת המארחת אותנו היום.

תמונה שלישית היא התמונה של גבעת רם, גבעה ברת מזל, אשר בה שוכנת האוניברסיטה שלנו, הכנסת ומשרדי הממשלה, בית המשפט העליון ומוזיאון ישראל. גבעה בה התחלתי את לימודי המתמטיקה כנער, ובה סיימתי את לימודי הדוקטוראט בהדרכת פרופסור מיכה פרלס, כרבים מעמיתי בתחום הקומבינטוריקה. גבעה בה ביליתי את רוב זמני בארבעים השנים האחרונות.

מאד גאה אני בעמיתי לקבלת הפרס. הנה אך לפני אלפיים ומאתיים שנים יצאה התרבות היהודית  בהתרסה מול התרבות הדומיננטית היוונית ועדיין רב הנסתר בקשרים בין תרבויות אלה. ועכשיו החוקרים שלנו, ובהם עמיתי כלת וחתן הפרס במדעי הרוח, מפליאים במחקריהם הן על תרבותינו שלנו לאורך הדורות והן על התרבות היוונית העתיקה. עמיתי שני חתני הפרס במדעים המדוייקים תרמו תרומות נפלאות להבנת החיים, להבנת מחלות  וריפוים ולהקלת סבל וכאב.

ומה ניתן לאמר על תרומת המתמטיקאי? לא הרבה ניתן להסביר. יש המדמים מתמטיקאים לקומפוזיטורים שמעבירים ביניהם פרטיטורות מסובכות הממלאות אותם סיפוק ושמחה, וכאשר הם מנסים להשמיע את המוסיקה שלהם ברבים הם נתקלים ברתיעה ובבהלה.  אגיד אם כן רק מספר מילים על שלושה מושגים ממתמטיקה, שאף אני עוסק בהם, ושיתכן שידברו אליכם גם אם אינכם מתמטיקאים: גאומטריה, שוויון, ומזל.

הגאומטריה היא העתיקה במקצועות המתמטיקה. מקורה בתרבות היוונית, חשיבות ניכרת לה בקבלה, וערכה רב בחקר החיים ומדעי הפיסיקה והכימיה. בתיאור עבודתי מוזכרת צורה גאומטרית שמצאתי עם עמית למחקר במימד 1350, ואשר הפריכה השערה ידועה שרוב המתמטיקאים האמינו בה עשרות שנים. אבל מה בכלל המשמעות של גאומטריה במימדים גבוהים? דבריו של רבי מנחם מנדל מקוצק  רלוונטיים גם למימדים גבוהים וגם למושגים אחרים מהמתמטיקה ומהמדע בכלל שמתנגשים עם המציאות כפי שהיא נראית לנו, וכך אמר: “כל מה שאדם רואה בעיניו הגַשמיות אינו מציאות כלל. רק מה שהוא רואה בעיניו השִכליות, זוהי מציאות!”

אעבור עתה למושג השוויון. אין דבר המזוהה יותר עם המתמטיקה משוויונים ומשוואות, ומושג השוויון והבנתו קשורים לתחומי המחקר של כולנו.  הביטו בבקשה על הצורה שבידי – האיקוסהדר. גוף זה נקרא פאון. הוא  אחד מחמשת הפאונים המשוכללים האפלטוניים. אם נחבר את מספר הקדקדים (12) למספר הפאות (20) ונחסיר את מספר הצלעות (או המקצועות) (30) נקבל שתיים.  המתמטיקאי לאונרד אוילר, שחי במאה השמונה עשרה, גילה שכך הדבר לכל פאון ופאון, ויש אף המייחסים שוויון זה לרנה דקארט, שחי כמאה שנים לפני אוילר.  עובדה זאת, הנקראת השויון של אוילר, יכולה מרחוק להיראות בלתי מעניינת וחסרת משמעות, אבל היא הבסיס לתחומים שלמים במתמטיקה ופיסיקה, ואף חלק ממחקרי עוסק בשוויונות דומים.

כאשר מדובר בשוויון הרשו לי, גבירותי ורבותי, לאמר דבר מענייני היום ולהזכיר, כאן בביתה של הכנסת שלנו, שאין תחליף לשוויון. אין תחליף לשוויון כבסיס לדמוקרטיה שלנו, ואין תחליף לשוויון כבסיס למערכת המשפטית שלנו, ואין תחליף לשוויון כערך בחברה ובכלכלה שלנו.

ולבסוף כמה מילים על מזל. גם מזל הוא מושג שמתמטיקאים, ואני בתוכם, עוסקים בו, והבנתו קשורה לכל תחומי חיינו. להבנה ולחקר המזל יש גם קשר לנושאי המחקר של כל עמיתי לפרס. המחקר שלי בתורת ההסתברות, העוסקת במזל, קשור למה שקרוי תופעות סף אשר בהם שינוי קטן בהסתברויות משנה באופן ניכר את התוצאה.

כמה פשוט היה העולם ללא מזל ואי ודאות, וכמה משעמם היה. כאשר בירך אותי יושב ראש המחלקה במזל טוב לרגל הזכייה בפּרס, ציין שבודאי הפּרס הוא ביטוי של עבודה קשה ולא של מזל.  חבר המחלקה ישראל אומן הגיב מייד שבמקרה שלי דווקא מגיע קרדיט רב למזל, כלומר לרעייתי מזל. ואכן מזל, מזי, ומשפחתי אינם רק שותפים להישגים, אלא מעבר לכך, הם אותו אי של ודאות בחיי הנותן להישגים את משמעותם.

מזל טוב לכולנו ותודה רבה.

Continue reading

Satoshi Murai and Eran Nevo proved the Generalized Lower Bound Conjecture.

Satoshi Murai and Eran Nevo have just proved the 1971 generalized lower bound conjecture of McMullen and Walkup, in their  paper On the generalized lower bound conjecture for polytopes and spheres . Let me tell you a little about it. For more background see the post: How the g-conjecture came about.

Face numbers and h-numbers

Let P be a (d-1)-dimensional simplicial polytope and let f_i(P) be the number of i-dimensional faces of P. The fvector (face vector) of P is the vector f(P)=(f_{-1}(P),f_0(P),f_1(P),...).

Face numbers of simplicial d-polytopes  are nicely expressed via certain linear combinations called the h-numbers. Those are defined by the relation:

\sum_{0\leq i\leq d}h_i(P)x^{d-i}= \sum_{0\leq i\leq d}f_{i-1}(P)(x-1)^{d-i}.

What’s called “Stanley’s trick” is a convenient way to practically compute one from the other, as illustrated in the difference table below, taken from Ziegler’s book `Lectures on Polytopes’, p.251:

1

1           6

1          5            12

1          4           7            8

h= (1        3          3            1)

Here, we start with the f-vector of the Octahedron (1,6,12,8) (bold face entries) and take differences as shown in this picture to end with the h-vector (1,3,3,1).

The Euler-Poincare relation asserts that h_d(P)=(-1)^{d-1}\tilde{\chi}(P)=1=h_0(P). More is true. The Dehn-Sommerville relations state that h(P) is symmetric, i.e. h_i(P)=h_{d-i}(P) for every 0\leq i\leq d.

The generalized lower bound conjecture

In 1971, McMullen and Walkup posed the following conjecture, which is called the generalized lower bound conjecture (GLBC):

Let P be a simplicial d-polytope. Then

(A) the h-vector of P, (h_0,h_1,...,h_d) satisfies h_0 \leq h_1 \leq ... \leq h_{\lfloor d/2 \rfloor}.

(B) If h_{r-1}=h_r for some r \leq d/2 then P can be triangulated without introducing simplices of dimension \leq d-r.

The first part of the conjecture was solved by Stanley in 1980 using the Hard Lefschetz theorem for toric varieties. This was part of the g-theorem that we discussed extensively in a series of posts (II’, II, IIIB). In their paper, Murai and Nevo give a proof of part (B). This is remarkable!

Earlier posts on the g-conjecture:

I: (Eran Nevo) The g-conjecture I

I’ How the g-conjecture came about

II (Eran Nevo) The g-conjecture II: The commutative-algebra connection

III (Eran Nevo) The g-conjecture III: Algebraic shifting

B: Billerafest

Which Street is More Important: Canner Street or Cold Spring Street

Is it possible that Cold Spring Street is as important as Canner Street?

I knew Canner Street from my earlier visits to Yale but Cold Spring Street was new to me. Naturally, I assumed that Canner Street was the important one among the two. One day, however, while walking home, I crossed Cold Spring Street and it seemed as wide and as impressive as Canner Street. Perhaps, I thought, Cold Street is as important as Canner Street, and just the fact that I did not hear about Cold Spring Street earlier made me think otherwise. This was an interesting novel thought, but soon enough I saw one major problem: I was actually walking in Canner Street, so it was not surprising that it looked as wide as Canner street. I quickly went to the real Cold Spring Street and then it also looked indeed as wide and as impressive as Canner Street. But I was fully aware that this impression might be biased by the previous one.

Some evidence that Canner Street is more important is that in the Whitney-Canner crossing there are traffic lights while in the Whitney-Cold-Spring crossing there is only a flashing yellow light. However, when you go on Orange Street the situation is reversed: The Orange/Canner crossing is a flashing yellow light and the Cold Spring Orange crossing has full-fledged traffic lights. You may say that prominent streets like Whitney and Orange themselves are more important than both Canner and Cold Spring streets. Be it as it may be, in this post we discuss only horizontal streets, and don’t touch at all on the importance of vertical streets. In fact, we compare only two streets, Canner Street and Cold Spring Street.

The following year my wife visited me at Yale and I told her about my inquiries regarding the relative importance of Cold Spring Street and Canner Street. My wife listened carefully, and even added one interesting piece of evidence that I did not consider before. My own street, Everit street (a small vertical street famous for hosting Yale’s president Rick Levin and the famous economist John G.), crossed Cold Spring Street but ended at Canner Street. My wife thought that this piece of evidence supported my feeling about the importance of Cold Spring street. I was not sure about it; to me it looks that Everit ending at Canner street rather than crossing  it,  gives Canner street some edge.

At some point I decided to test matters scientifically and I measured in steps the width of Canner Street. But I returned to Israel before making a similar measurenemt at Cold Spring Street and by now I forgot the outcomes.

Of course, we can say that Canner Street is the more important on its Whitney side and the less important on its Orange side. But this answer simply does not face the real problem. Perhaps an opinion poll can help.

At the end, after some years, I came to the conclusion that Canner Street is more important than Cold Spring Street because it extends beyond Whitney while Canner Street does not. (But please dont be influenced by me.)

Michal Linial: No Witches in Portugal

It gives me great pride to present:

 

Michal Linial:  March 2012

No witches in Portugal

Landing in LISBOA, Portugal last night. I need to get to my hotel in Cascais. The nice lady in the tourist information ordered a taxi and happily said: “Do not worry, our drivers speak excellent English.

Five minutes later my driver arrived, a huge person, nicely dressed with a fancy nice black car. “To Cascais, What is the price” I asked in a fluent English.  Well, it depends he replied…

My huge driver, was very fluent in English as promised… Then he starts… Three years ago I had a ski accident, at that time I was much heavier… I was wondering how such information might be relevant to our trip… My driver continues: “From the time of the accident my leg is not the same. This is why I bought this car with a “gear” instead of an automatic transmission, so I can practice my left leg. Most of time I can move it, but I still do not feel it when it is cold”… “Is it cold today?” I asked. No, today it is fine. Yesterday it was cold.

How long is it to Cascais? I was asking. My driver relied honestly: “it depends on the road”… Oh, I said… waiting for an explanation. It took a minute for him to explain: “You know, I always drive by my feelings. Sometime, I have a feeling that it is not good to take the freeway. Today I have this feeling. “OK, it is best that you listen to your feelings”, I relied quietly. He continues: “You know, there are no witches in Portugal, but it is better to listen to them”. Of course, I said.

You know he continue, my brother in law who was a driver in our taxi company had a bad feeling 4 months ago when he took the small road instead of the highway, and indeed he died. A truck crushed him. But the passenger, a British person that was in the car was not hurt. The passenger had his seat belt fasten, like you… Do you want me to show you where he died?, it is on the way to the hotel, he insisted. Sure I replied. If it is on the way, and you feels that we should not take the highway, let’s go on the other road…

We drove on a neglected road. It was not too cold… My huge driver mentioned me the spot where his brother in law died…  We are now 10 min from the hotel he updated me. But I missed the entrance. You know, he continued, once I drove with my mother, I missed the entrance to the road. Then, I knew that I should not get into this road. Do you mind that I will drop you here? it is no more than 200 meters to your hotel. I happily paid the 60 Euro, another tip for 10 Euro for the good witch that was with us.  

While I was walking with my luggage on the hill to the hotel, a taxi was stopping behind me. It was my big driver again… He said: I forgot to give you my card. Please call me when you want to go back to the airport. it will be only 30 Euro. We can take the highway. I am still in Portugal for another 2 days. I will call him if it will not be too cold.